Георгий Чавчанидзе Отдел Теоретической Физики, Институт Математики им. Размадзе, ул. Алексидзе 1, Тбилиси 0193, Грузия Рассматривается однопараметрическая группа симметрии модифицированных уравнений Бусинеска. Показано, что эта симметрия естественно порождает бесконечное семейство законов сохранения. Неканоническая симметрия; Законы сохранения; модифицированные уравнения Бусинеска; 70H33; 70H06; 58J70; 53Z05; 35A30 В гамильтоновых системах законы сохранения тесно связаны с симметриями эволюционных уравнений. В случае уравнения Бусинеска эта связь особенна тесна, так как весь бесконечный набор законов сохранения лежит на одной орбите простой однопараметрической группы симметрии. Мы рассматриваем некоторые геометрические свойства этой симметрии и доказываем что эти свойства гарантируют инволютивность законов сохранения. Напомним, что модифицированная система Бусинеска задается следующим набором диференциальных уравнений в частных производных u_t = cv_xx + u_xv + uv_x v_t = − cu_xx + uu_x + kvv_x где $u\; =\; u(x,\; t),\; v\; =\; v(x,\; t)$ — гладкие функции на $ℝ²$, которые удовлетворяют граничным условиям $u(\pm \infty ,\; t)\; =\; v(\pm \infty ,\; t)\; =\; 0$, а $c$ и $k$ вещественные константы. В случаях, когда $k\; =\; -\; 1$ или $k\; =\; 3$, модифицированная система Бусинеска обладает нетривиальной бигамильтоновой структурой, которая существенно облегчает анализ системы в этих двух случаях. Первый случай описан в статьях [2],[5],[6], в то время как в этой статье мы хотим обратить внимание на второй сектор и показать, что в случае $k\; =\; 3$ бигамильтонова структура модифицированной системы Бусинеска связана с неканонической симметрией [1] уравнений (1). Итак, в случае $k\; =\; 3$ модифицированные уравнения Бусинеска u_t = cv_xx + u_xv + uv_x v_t = − cu_xx + uu_x + 3vv_x могут быть записаны в бигамильтоновой форме u_t = W(dh ∧ du) = Ŵ(dĥ ∧ du) v_t = W(dh ∧ dv) = Ŵ(dĥ ∧ dv) где $W$ и $Ŵ$ — согласованные пуассоновы бивекторные поля, т.е. выполнено [W , W] = [W , Ŵ] = [Ŵ , Ŵ] = 0, которые имеют вид W = + ∞∫− ∞ ½(A ∧ A_x + B ∧ B_x)dx Ŵ = + ∞∫− ∞ (uB ∧ A_x + vB ∧ B_x − cA_x ∧ B_x)dx, а $A,\; B$ — векторные поля, которые для каждого гладкого функционала $R\; =\; R(u)$ могут быть определены с помощью вариационных производных A(R) = δRδu,          B(R) = δRδv. Соответствующие гамильтонианы которые участвуют в бигамильтоновой реализации (3) имеют вид h = ½+ ∞∫− ∞ (u²v + v³ + 2cuv_x)dx ĥ = ½+ ∞∫− ∞ (u² + v²)dx Эта бигамильтонова структура связана с симметрией уравнений (2), но прежде чем мы установим эту связь, напомним, что симметрия эволюционных уравнений задается группой преобразований (u , v) ↦ (g(u) , g(v)) которая коммутирует с оператором эволюции ddtg(u) = g(u_t),          ddtg(v) = g(v_t). В случае непрерывных однопараметрических групп преобразований g(u) = e^zL_E(u) = u + zL_Eu + ½z²(L_E)²u + ⋯ g(v) = e^zL_E(v) = v + zL_Ev + ½z²(L_E)²v + ⋯ генерируемых неким векторным полем $E$, условие (9) может быть заменено следующим условием для генератора симметрии $E$ E(u)_t = cE(v)_xx + E(u)_xv + uE(v)_x + u_xE(v) + E(u)v_x E(v)_t = − cE(u)_xx + uE(u)_x + 3vE(v)_x + E(u)u_x + 3E(v)v_x Среди решений уравнений (11) следует отметить одно важное векторное поле — генератор неканонической симметрии, который имеет следующий вид E = + ∞∫− ∞ {[xuv + 2t(u³ + 3uv² + 6cvv_x − 2c²u_xx)]A_x − cxvA_xx + (xuu_x + xvv_x)B + [xu² + 2xv² + 2t(5v³ + 3u²v − 6cvu_x − 2c²v_xx)]B_x + cxuB_xx}dx Применяя однопараметрическую группу преобразований g(z) = e^zL_E, генерируемых векторным полем $E$ к центру пуассоновой алгебры, которая в нашем случае состоит из функционалов вида J = + ∞∫− ∞ (ku + mv)dx где $k,\; m$ — произвольные константы, мы получаем однопараметрическое семейство функций J(z) = e^zL_EJ = J + zL_EJ + ½(zL_E)²J + ⋯ (в действительности это орбита группы неканонических преобразований которая проходит через центр пуассоновой алгебры). Интересно что функционалы $(L$_E)^mJ находятся в инволюции. Орбита (15) группы неканонических преобразований, генерированных векторным полем (12), является инволютивной орбитой {J(x) , J(y)} = 0,          ∀x, y ∈ ℝ, а функционалы J^(m) = (L_E)^mJ составляют схему Ленарда бигамильтоновой структуры (5) и порождают инволютивное семейство законов сохранения модифицированной иерархии Бусинеска. Теорема естественным образом следует из геометрических свойств векторного поля $E$. Более конкретно, производная Ли бивекторного поля $W$ по полю $E$ дает второе бивекторное поле, входящее в бигамильтонову систему (5) Ŵ = [E , W], в то время как производная Ли второго бивекторного поля $Ŵ$ по $E$ равна нулю $[E\; ,\; Ŵ]\; =\; 0$. Этих свойств достаточно для того, чтобы доказать инволютивность семейства функционалов (17) (т.е. доказать что скобка Пуассона любых двух законов сохранения из бесконечного семейства (17) равна нулю) {J^(k) , J^(m)} = 0          k, m = 0, 1, 2 ... Применяя производную Ли порядка $m$, т.е. $(L$_E)^m, к формуле W(dJ⁽⁰⁾) = 0, которая просто означает что $J(0)$ находится в центре пуассоновой алгебры, легко доказать что функционалы (17) составляют схему Ленарда W(dJ^{(m + 1)}) = − (1 + m)[E , W](dJ^(m)) бигамильтоновой системы (5). С другой стороны, хорошо известно [4], что функционалы, учавствующие в схеме Ленарда, находятся в инволюции. В то же время функционал J⁽²⁾ = (L_E)²J⁽⁰⁾ = m+ ∞∫− ∞ (u²v + v³ + 2cuv_x)dx = 2mH воспроизводит гамильтониан модифицированной системы Бусинеска, так что функционалы $J(m)$, находясь в инволюции с гамильтонианом, являются законами сохранения. Подсчитывая производные $J(0)$ по векторному полю $E$, можно получить законы сохранения модифицированной системы Бусинеска в явном виде: J⁽⁰⁾ = + ∞∫− ∞ (ku + mv)dx J⁽¹⁾ = L_EJ⁽⁰⁾ = m2+ ∞∫− ∞(u² + v²)dx J⁽²⁾ = (L_E)²J⁽⁰⁾ = m+ ∞∫− ∞ (u²v + v³ + 2cuv_x)dx J⁽³⁾ = (L_E)³J⁽⁰⁾ = 3m4+ ∞∫− ∞ (u⁴ + 5v⁴ + 6u²v² − 12cv²u_x + 4c²u_x² + 4c²v_x²)dx J^(m) = (L_E)^mJ⁽⁰⁾ = L_EJ^{(m − 1)}

Тпт факт что бесконечное семейство законов сохранения модифицированной иерархии Бусинеска лежит на одной орбите однопараметрической группы неканонической симметрии наводит на мысль, что неканонические симметрии могут играть ключевую роль в анализе некоторых интегрируемых моделей, где они могут существенно облегчить вычисление законов сохранения и пролить свет на геометрические предпосылки интегрируемости. Основные результаты статьи могут быть распостранены на случай периодических граничных условий $u(-\; \infty )\; =\; u(+\; \infty )$, $v(-\; \infty )\; =\; v(+\; \infty )$, в котором модифицированные уравнения Бусинеска можно рассматривать как бигамильтонову систему на пространстве петель [4], однако в периодическом случае симметрия (12) может не сохранять граничные условия.

The research described in this publication was made possible in part by Award No. GEP1-3327-TB-03 of the Georgian Research and Development Foundation (GRDF) and the U.S. Civilian Research & Development Foundation for the Independent States of the Former Soviet Union (CRDF). G. Chavchanidze, Non-Noether symmetries and their influence on phase space geometry, J. Geom. Phys. 48 (2003) 190-202 A. Fordy and J. Gibbons, Factorization of operators. II, J. Math. Phys. 22, No. 6 (1981), 1170–1175 F. Magri, A simple model of the integrable Hamiltonian equation, J. Math. Phys. 19 No. 5 (1978), 1156-1162 O. Mokhov, Symplectic and Poisson Geometry on Loop Spaces of Smooth Manifolds and Integrable Equations, Routledge, 2004 J.P. Wang, A list of 1 + 1 dimensional integrable equations and their properties, J. Nonlinear Math. Phys. 9 (2002), suppl. 1, 213–233 J.P. Wang, Symmetries and conservation laws of evolution equations, Ph.D. Thesis, Vrije Universiteit van Amsterdam, 1998